[스크랩] 담헌집/외집4권/주해수용 총례(籌解需用總例)/방원승제율(方圓乘除率)

방원승제율(方圓乘除率)

주수(籌數)는 정(精), 추(粗)가 있다. 정수(精數)는 석미세분(析微細分)하며 내치(內治)함이 없으며 역(曆)이라든가 심률(審律 : 음률을 심의하는 것)에 속하며 추수(粗數)는 간편하는 것에 따라서 조금만 차가 있어도 구애가 없어 양전(量田)이라든가 상공(商功)이 이것에 속한다. 정수(精數)가 간편하는데 따르면 술법(術法)이 소잡(疎雜)하며 오류(誤謬)가 커지며 추수(粗數)가 석미(析微)하면 석미하는데 계류하여 공(功)이 적어진다. 이는 주술(籌術)의 변화(變化)와 수에 따라서 달리 사용한다. 이는 마치 지름 1, 둘레 3, 방[한 변의 길이] 5, 빗변 7의 유(類)에 있어서 모두 비록 나머지[畸零]가 있으나 실은 정법(定法)이 아니므로 방원 호각(方圓弧角)의 율은 간편한데 따르며, 술법(術法)이 소잡(疎雜)한 것은 추수(粗數)에 타당하며 정수(精數)에는 타당하지 않다. 주학(籌學)은 마땅히 이것을 알아 두어야 한다.

徑求周三因 : (원의 지름을 알고 둘레를 구하려면 지름에 3을 곱하면 된다는 뜻) 원법의 둘레 3, 지름 1은 고율(古率)이고 휘율, 밀률은 고율에 비하여 차가 적어 정밀하나 영육(盈朒)을 면하지 못한다. 대체로 추수(粗數)는 고율(古率)의 간결함만 못하고 정수(精數)는 서법의 밀(密)함만 못하다. 배우는 자는 상세히 알아야 한다.
周求徑三歸 : (원의 둘레를 알고 지름을 구하려면 둘레를 3으로 나누면 된다는 뜻)
徑求積自乘三因四歸 : (원의 지름을 알고 그 원의 넓이를 구하려면 지름을 제곱[自乘]하고 그것의 4분의 3을 곱하면 된다는 뜻) 이 사실은 정사각형의 내부에 접하는 원의 넓이가 곧 정사각형의 넓이의 4분의 3이 된다는 것과 같고, 이 사실은 옛날의 원율(圓率)에 근원을 두고 있다.
周求積自乘十二除 : (원의 둘레를 알고 그 원의 넓이를 구하려면 둘레를 제곱하여 그것을 12로 나누면 된다는 뜻) 원의 넓이를 12배 하는 것이나 둘레를 제곱하는 것은 같은 수가 된다.

周徑求積相乘四歸 : (둘레와 지름을 알고 원넓이를 구하려면 둘레와 지름을 서로 곱하여 4로 나누면 된다는 뜻) 둘레와 지름을 서로 곱하면 원넓이의 4배이다.

周半徑求積自乘三歸 : (원의 넓이를 구하려면 둘레의 반을 제곱해서 그 결과를 3으로 나눈 것과 같다는 뜻) 둘레의 반(半)을 제곱하면 원의 넓이의 3배가 된다.

[참고] 이것은 앞에서 말한 둘레를 제곱해서 12로 나눈 것과 같은 결과를 말한다.

半徑求積自乘三因 : (반지름을 알고 원의 넓이를 구하려면 반지름을 제곱해서 3을 곱하면 된다) 반지름의 제곱은 정사각형의 넓이 1/4이다.

[참고] 현대의 원의 공식인 S=πr²에 해당하는 말이다.

半周半徑求積自乖 : (둘레와 반과 반경을 알고 원의 넓이를 구하려면 이들을 서로 곱하면 된다는 뜻) 둘레의 반과 지름을 서로 곱한 것은 둘레와 지름을 곱한 것의 1/4이다.
方內圓積四歸三因 : (정사각형에 내접하는 원의 넓이는 정사각형의 넓이의 3/4이라는 뜻) 4분의 3.

M : 지름 π=3 M² ; 한 변의 길이가 M인 정사각형의 넓이이다.

圓內方積三歸三因 : (원에 내접(內接)하는 정사각형의 넓이는 원넓이의 2/3와 같는 뜻) 3분의 2.
三角內圓積七歸四因 : (정삼각형에 내접하는 원의 넓이는 정삼각형의 넓이의 4/7와 같다는 뜻) 7분의 4.
圓內三角積十六除七因 : (원에 내접하는 정삼각형의 넓이는 원의 넓이의 7/16과 같다는 뜻) 16분의 7.
六角內圓積七歸六因 : (정육각형에 내접하는 원의 넓이는 정육각형의 넓이의 6/7과 같다는 뜻) 7분의 6.
圓內六角積七歸六因 : (원에 내접하는 정육각형의 넓이는 원의 넓이에 6/7이 된다는 뜻) 7분의 6.
孤矢求積弦乘矢四歸三困 : (호(弧)의 길이와 시(矢)의 길이를 알고 면적을 구하려면 현(弦)의 길이와 시(矢)의 길이를 곱하여 그 결과를 4로 나누고 또 3을 곱하면 된다는 뜻) 호시(弧矢)는 직적(直積)의 3/4이 되고, 또 현시(弦矢)를 합하여 제곱한 결과를 6으로 나누고 또 현시(弦矢)를 합한 절반을 시(矢)로 곱하여도 모두 얻어진다.
立圓徑求積再自乘又九因十六除 : (구의 지름을 알고 그 구의 부피를 구하려면 지름을 3제곱하여 그 결과에 9/16를 곱하면 된다는 뜻) 재자승은 입방체를 말하므로 이 입방체 속에 입원(구)이 있으니 이것은 평면에 있어서의 원의 율(方內圓積四歸三因)을 제곱하면 체율(體率)이 된다고 생각하였다.

[참고] 입원은 정육면체 속에 내접하고 있는 구를 말한다. 재자승(再自乘)이란 곧 3제곱이다.

方求斜七因五歸 : (정사각형의 한 변을 알고 그 대각선 즉 빗금의 길이를 구하려면 정사각형의 한 변의 길이의 7/5을 곱하면 된다는 뜻) 방은 5, 빗변은 7, 아래도 같음.

[참고] 현대의 수학에서는 정사각형의 한 변의 길이를 α라고 하면 그 대각선의 길이는


가 된다. 그런데 여기서


……이라는 숫자를 5분의 7(7/5=1.4)이라는 숫자를 대용(代用)했다는 뜻이다.

斜求方五因七歸 : (정사각형의 대각선(빗금)을 알고 정사각형의 한 변의 길이를 구하려면 대각선의 길이에 5/7를 곱하면 된다는 뜻)
三角面長求中長六因七歸 : (정삼각형의 면장(面長)을 알고 중선의 길이를 구하려면 면장을 6/7으로 곱하면 된다는 뜻) 중장(中長)은 면장(面長)의 6/7이다. 아래도 같음.

[참고] 원문에 ‘七因六歸’라고 되어 있는데 이것은 ‘六因七歸’의 착오이다.

三角中長求面長七因六歸 : (삼각형의 중선의 길이를 알고 그 정삼각형의 면장을 구하려면 중선의 길이의 7/6을 곱하면 된다는 뜻)

[참고] ‘六因七歸’를 ‘七因六歸’로 고쳐야 한다.

平地粟三十六除 : (평지에 좁쌀을 비축하는데 있어 그 비축된 물체의 체적을 구하려면 그 아랫면의 둘레를 제곱하고 또 그 결과에 높이를 곱하여 그 결과를 36으로 나누면 된다는 뜻) 둘레의 제곱은 원의 넓이의 12승이 된다. 쌓인 첨체적(尖體積)은 장원체적(長圓體積)의 1/3이고, 12를 3으로 곱한 것이 율이 된다.
倚壁粟十八除 : (벽에 의지하며 좁쌀을 쌓아 올리려고 하는데 그 쌓아 올린 물체의 체적을 구하려면 아랫면의 둘레를 제곱하고 그 결과에 높이를 곱한 수를 18로 나누면 된다는 뜻) 평지의 체적의 반이라는 뜻이다.
內角粟九歸 : (각을 형성하면서 좁쌀을 쌓아 올리는데 있어서 쌓아 올린 물체의 체적을 구하는데는 그 아랫면의 둘레를 제곱하고 그 결과에 높이를 곱하여 그 결과 수를 9로 나누면 된다는 뜻) 평지속의 1/4.
方錐三歸 : (정사각추의 체적을 구하는데 있어서 아랫면의 한 변의 길이를 제곱하고 그것에 높이를 곱하여 그 결과를 3으로 나누면 된다는 뜻) 장입방(長立方)의 1/3.
圓錐三十六除 : (원추 즉 원뿔의 체적을 구하려면 아랫면의 둘레를 제곱하고 그것에 높이를 곱하여 그 결과를 36으로 나누면 된다는 뜻) 평지속과 같은 체적.
圓積求徑四因三歸平方開 : (원의 넓이를 알고 그 원의 지름을 구하려면 원의 넓이의 4/3를 곱한 결과에 제곱근을 구하면 된다는 뜻) 넓이의 환원을 구함. 아래 모두 같음.
圓積求周十二乘平方開 : (원의 넓이를 알고 그 원의 둘레를 구하려면 그 원의 넓이에 12를 곱하고 그 결과의 제곱근을 구하면 된다는 뜻)
圓積求半周三因平方開 : (원의 넓이를 알고 그 원의 둘레의 반을 구하려면 그 원의 넓이에 3을 곱하고 그 결과의 제곱근을 구하면 된다는 뜻)
圓積求半徑三歸平方開 : (원의 넓이를 알고 그 원의 반경을 구하려면 원의 넓이를 3으로 나눈 결과에 제곱근을 구하면 된다는 뜻)
立圓積求徑十六乘九歸立方開 : (정육면체(正六面體) 속에 내접하고 있는 구(球)의 체적을 알고 그 지름을 구하려면 그 체적에 16/9을 곱하고 그 결과의 3제곱근을 구하면 된다는 뜻)
直田求較和自乘減四積平方開 : (직사각형 모양의 밭의 가로 세로의 길이의 차(교)를 구하려면 가로 세로의 합의 길이를 제곱하여 그 결과에 면적을 4로 곱한 수를 빼서 그 결과를 개평하면 된다. 즉 제곱근을 구하면 된다) 합의 제곱은 직적(直積)의 4배와 교(較)의 제곱의 합.




참고문헌
수학계몽(數學啓蒙) 원(元) 나라 주세걸(朱世傑)의 찬(撰)
수학통종(數學統宗) 명(明) 나라 정대위(程大位)의 찬(撰)
수법전서(數法全書) 청(淸) 나라 장수성(蔣守誠)의 찬(撰)
적기수법(摘奇數法) 송(宋)나라 양휘(揚揮)의 찬(撰)
혼개통헌(渾盖通憲) 서양 사람 이마두(利瑪竇)가 구전(口傳)한 것을 명(明) 나라의 이지조(李之藻)가 연역(演譯)
상명수결(詳明數訣) 우리 나라 경선징(慶善徵)의 찬(撰)
수원(數原) 우리 나라 박율(朴繘)의 찬(撰)
율력연원(律曆淵源) 저자 미상
수리정온(數理精蘊) 강희(康熙) 어제(御製)

 

方圓乘除率 籌數有精有粗。精數析微細分。無內治。曆審律之屬是也。粗數從簡。少差無碍。量田商功之屬是也。精數從簡則術疎而謬大。粗數析微。則策繁而功寡。此籌術之通變。隨數而異用也。如經一周三方五斜七之類。具有畸零。實非定法。故方圓弧角之率從簡而術疎。宜於粗而不宜於精。籌學所當知也。
徑求周三因。圓法之周三徑一。古率也。微率密率。比古差精而猶不免盈朒。盖粗數。不如古率之簡。精數。莫如西法之密。學者詳之。
周求徑三歸。
徑求積自乘。三因四歸。卽方內圓。積四分之三。亦根於古圓率。
周求積自乘。十二除。十二圓積。與周自乘同數。
周徑求積。相乘四歸。周徑相乘。爲四圓積。
半周求積。自乘三歸。半周自乘。爲三圓積。
半徑求積。自乘三因。半徑自乘。爲方積四分之一。
半周半徑。求積相乘。半周徑相乘。爲全周徑相乘四分之一。
方內圓積。四歸三因。四分之三。
圓內方積三歸二因。三分之二。
三角內圓積。七歸四因。七分之四。
圓內三角積。十六除七因。十六分之七。
六角內圓積。七歸六因。七分之六。
圓內六角積。七歸六因。七分之六。
弧矢求積。弦乘矢。四歸三因。弧矢爲直積四分之三。又並弦矢自乘六歸之。又並弦矢折半。乘矢俱得。
立圓徑求積。再自乘。又九因十六除。再自乘。爲立方體。是立方內容立圓。以平面率。各自乘爲體率。
方求斜。七因五歸。方五斜七。下同。
斜求方五因七歸。
三角面長求中長。七因六歸。中長爲面長。七分之六。下同。
三角中長求面長。六因七歸。
平地粟。三十六除。周自乘爲十二圓積。取粟尖體積爲長圓。體積三分之一。以十二乘三爲率。
倚壁粟。十八除。爲平地半。
內角粟。九歸。爲平地四分之一。
方錐。三歸。爲長立方三分之一。
圓錐。三十六除。與平地粟同體。
圓積求徑四。因三歸平方開。求積還原。下同。
圓積求周十二乘。平方開。
圓積求半周三因。平方開。
圓積求半徑三歸。平方開。
立圓積求徑十六乘九歸。立方開。
直田求較。和自乘减四積。平方開。和自乘。爲四直積。一較羃共數。

引用書目
數學啓蒙。元朱世傑撰。
數學統宗。明程大位撰。
數法全書。淸蔣守誠撰。
摘奇數法。宋揚輝撰。
渾盖通憲。西洋利瑪竇口授明李之藻演。
詳明數訣。本國慶善徵撰。
數原。本國朴▣撰。
律曆淵源。
數理精蘊。康煕製。

 

 

출처 : 장달수의 한국학 카페

글쓴이 : 낙민 원글보기

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