[스크랩] 담헌집/외집4권/주해수용 내편 상(籌解需用內編 上)/사율법(四率法) 6문제

사율법(四率法) 6문제

4율법은 서양의 비례이다 이것은 넓게 사용되고, 소수를 서로 바꾸는데 이 법을 항상 사용한다. 소위 이승동제법(異乘同除法)이란 것이 바로 이것이다. 2율과 3율을 서로 곱하면 이것을 실수로 하며 1율을 법수로 하여 이것을 나눈다. 그래서 4율을 얻는다.

돈 2냥 5전을 가지고 쌀 7두 5승과 바꾸었다고 하면 돈 75냥은 쌀이 얼마나 되는가?
[답] 225두
[풀이] 돈 2냥 5전을 1율 쌀 7두 5승을 2율로 하며, 돈 75냥을 3율로 하여 2율, 3율을 서로 곱하여, 돈과 쌀을 서로 곱하니 이승(異乘)이 된다. 이것을 실수로 하고 1율을 법수로 하여 이것을 나눈다. 그리하면 4율을 얻는다. 3율과 2율을 곱하면 두(斗)는 냥(兩)에서 기산(起算)하여 10에 이르러 위(位)가 10을 위쪽으로 지나면 위(位)는 100이 된다. 1율로서 실수를 나누면 냥(兩)을 두에서 기산(起算)하여 100에 이르러서 위가 100이 된다. 두(斗)와 냥(兩)을 서로 바꾸어 보면 2냥(兩)은 단 당위(當位)가 되어 위는 100이 되어 역시 가하게 된다.

쌀 7두 5승의 값이 2냥 5전이면 지금 쌀 225두의 값은 얼마인가?
[답] 75냥
[풀이] 쌀 7두 5승을 1율로, 돈 2냥 5전을 2율로 하여 쌀 225두를 3율로 하면 된다.

돈 75냥과 쌀 225두를 바꾸면, 지금 돈 2냥 5전으로는 쌀이 얼마나 되는가?
[답] 7두 5승
[풀이] 돈 75냥을 1율로 하고 쌀 225두를 2율, 돈 2냥 5전을 3율로 하면 된다.

쌀 225두의 값이 75냥이면 지금 쌀 7두 5승의 값은 얼마인가?
[답] 2냥 5전
[풀이] 원쌀 225두를 1율로, 원돈 75냥을 2율, 쌀 7두 5승을 3율로 하면 된다.

인부 75명이 8일간 밭을 개간하는데 150묘를 하였다. 지금 인부 158명이 16일간 하면 밭을 얼마나 개간할 수 있는가?
[답] 600묘
[풀이] 원 인부 75명과 8일을 곱하면 600명을 얻는데 이 숫자를 1율로 하고 원밭 150묘를 2율로 하며, 지금 인부 150명과 16일을 곱한 2,400명을 3율로 하면 된다.

원백목(原白木) 120필을 90리로 운반하는데 품삯 7전 5푼을 준다고 하면 지금 백목(무명) 2,400필을 1,800리 운반하는 데는 품돈이 얼마나 되겠는가?
[답] 300냥
[풀이] 원 무명 120필과 운반거리 90을 곱한 것은 1율로 하고 품삯 7전 5푼은 2율로, 백목(무명) 2,400필과 운반거리 1,800을 곱한 결과를 3율로 하면 된다.

1율이 100,000인데 상련비례율(相連比例率)을 만들려고 한다. 1율과 4율의 수를 합한 것과 2율을 3배한 수와는 똑같다고 한다. 2율, 3율, 4율은 각각 얼마인가?
[답] 2율 : 34,729, 3율 : 12,061, 4율 : 4,187
[풀이] 2율을 구하는 데는 1율을 제곱, 3승하여, 1천 만억 된다. 이것을 갑(甲)의 실수라고 하자. 그리고 1율을 제곱하여 또 3을 곱하여, 3백억이 된다. 이것을 갑의 법수로 하여 이것을 가지고 갑의 실수를 나누면 갑의 득수(得數) 3만을 얻는다. 이 3만을 자승(自乘), 3승하여, 27만억이 된다. 이 수를 갑의 실수에 더하면 갑의 익실수(益實數)가 된다. 1,027만억.

[참고] 익실수라고 하는 명사는 갑의 전에 구한 실수에 갑의 득수를 더한 것을 다시 실수로 한다는 뜻에서 사용한 말이다. 갑의 득수 30,000과 갑의 법수를 곱하면 9백 만억이 된다. 이것을 갑승(甲乘)이라 하자, 이 수를 갑의 익실수에서 빼면 나머지는 1,027만억이 된다. 이 127만억을 을의 실수로 한다.

다음에 갑법수(3백억)로 을실수(127만억)를 나누면 을의 득수 4,000을 얻는다. 이 을의 득수 4,000 와 갑의 득수 30,000을 합하여 34,000이 34,000을 제곱, 3제곱하면 393,040억 이 수를 갑의 실수 1천만 억 에 더하여 을의 익실수(益實數)로 한다. 10,393,040억
을의 득수(4,000)와 갑의 법수(300억)를 곱하여 을승(乙乘)이라 하고, 이 을승과 갑승을 합하여 을의 익실수에서 빼면 그 나머지를 19,3040억 병(丙)의 실수로 한다.
갑의 법수로 병의 실수를 나누어 병의 득수가 된다. 700이다. 원래 600명을 얻는데 영수가 태다(太多)하여 700으로 올랐다 갑을의 양쪽의 득수를 합하여 34,700이다. 제곱, 3제곱하여 41,781,923백만 이것을 갑실수에 더하여 병(丙)의 익실수로 한다 1천 41만 7천 8백 19억 7천 3백만.
병의 득수 700과 갑의 법수 300억을 곱하여 병승(丙乘)이 된다. 이 병승과 갑, 을의 양승을 합하여 병의 익실수에서 빼면 나머지는 7천 8백 19억 2천 3백만 정(丁)의 실수로 한다. 갑의 법수로 정의 실수를 나누면 정의 득수 20이 된다. 이 정(丁)의 득수와 갑, 을, 병의 3개의 득수를 합하여 34,720 이것을 제곱, 3제곱하여 41만 8천 5백 42억 1천 4만 8천 이 수를 갑의 실수에 더하여 정의 익실수 1천 41만 8천 42억 1천 4만 8천 로 한다. 정(丁)의 득수와 갑의 법수를 곱하여 정승(丁乘)이 된다.이 정승과 갑승, 을승, 병승의 3개를 합하여 정의 익실수에서 빼면 나머지는 2천 5백 42억 1천 4만 8천을 얻고 이 수를 무(戊)의 실수로 한다. 갑의 법수로 무의 실수를 나누어 무(戊)의 득수 9가 된다. 원래 8을 얻는데 영수(零數)가 태다(太多)하므로 올려서 9가 되었다 가 되고 무의 득수와 갑, 을, 병, 정의 4개의 득수를 합하여 34,729가 된다. 이 수를 제곱, 3제곱하면 41만 8천 8백 67억 6천 6백 4만 2천 4백 8십 9가 되며 이것을 갑의 실수에 더하여 무의 익실수(益實數)가 된다 1천 41만 8천 8백 67억 6천 6백 4만 2천 4백 89
무의 득수와 갑의 법수를 곱하여 무승(戊乘)이 되고 이 수를 갑승, 을승, 병승, 정승의 4개와 합하여 무의 익실수(益實數)에서 빼면 된다. 나머지는 1백 67억 6천 6백 40만 2천 4백 89 이제까지 모두 나눗셈을 하여 얻은 득수(得數)는 34,729이다. 그리고 3율을 구하려면 2율을 제곱하여 이것을 1율로 나누면 된다.
또 4율을 구하려면 2율을 3배한 결과에서 1율을 빼면 된다. 또 3율을 제곱한 것을 2율로 이것을 나누면 된다.

1율이 100,000인데 상련비례율(相連比例率)을 만들려고 한다. 1율과 4율의 수를 합한 것과 2율의 배와 3율의 수를 합한 것이 꼭 같다. 이때 2율, 3율, 4율은 각각 얼마인가? 익실귀제법과 감실귀제법을 사용한다.
[답] 2율 : 44,504 3율 : 19,806 4율 : 8,814
[풀이] 2율을 구하려면 1율의 제곱, 3제곱한 것 1,000천만 억 을 갑의 실수로 하고 1율의 제곱에 2를 곱한 것 200억 을 갑의 법수로 해서 갑의 실수를 나누면 갑의 득수가 40,000이다. 원래 50,000을 얻는데 진수(盡數)가 된다. 따라서 실수를 감하면 익실(益實)이 크다. 그러므로 40,000으로 퇴(退)한 것이다. 된다. 이 갑의 득수를 제곱, 3제곱하여 64 만억 갑의 실수에 더하여 갑의 익실수(益實數) 1,064만억 가 된다. 또다시 갑의 득수를 제곱하며 16억 이 수에 1율을 다시 곱하여 160만억 이것을 갑의 익실수에서 빼서 904만억이 된다. 이 수를 갑의 정실(正實)이라고 하며 갑의 득수와 갑의 실수를 곱하여 갑승(甲乘)이라 하고 800만억 이것을 갑의 정실수에서 빼고 104만억이 된다. 이 수를 을의 실수로 한다. 갑의 법수로서 을의 실수를 나누면 을의 득수가 된다. 4,000이다. 원래 5,000인데 퇴(退)하여 4,000이 된다. 이 수와 갑의 득수를 합쳐서 4,400이다. 이 수를 제곱, 3제곱하여 851,840 억이 된다 갑의 실수에 더해서 을의 익실수 1천 85만 1천 8백 40억 가 된다.
또다시 갑, 을의 양 득수 44,000를 제곱하여 19억 3천 6백만 1율 10만을 다시 곱하고 1백 93만 6천 억 이 수를 을의 익실수에서 빼면 나머지가 8백 91만 5천 8백 40억 된다. 이 수를 을의 정실(正實)이라 한다. 을의 득수와 갑의 법수를 곱하여 을승(乙乘)이라 하며 80만 억이 된다. 이 수와 갑승(甲乘)을 합하여 을의 정실(正實)에서 빼면 나머지가 1천 1만 5천 8백 40 억 되고 이 수를 병의 실수로 한다. 갑의 법수로 병의 실수를 나누면 병의 득수 5백 를 얻는다. 이 병의 득수와 갑, 을의 양 득수를 합하면 4만 4천 5백 된다. 이 수를 제곱, 3제곱하면 88만 1천 2백 1억 2천 5백만 된다. 이 수를 갑의 실수에 더하여 병의 익실수(益實數)가 된다. 1척 88만 1천 2백 11억 2천 5백만이 된다.
다시 갑, 을, 병의 3득수를 합하여 44,500 제곱하여 19억 8천 25만이 된다. 이 수와 1율을 다시 곱한다. 1백 98만 2백 5억이다. 이 수를 병의 익실수에서 빼면 나머지를 8백 90만 9백 61억 2천 2백만 병의 정실(正實)이라고 한다. 병의 득수와 갑의 법수를 곱하여 10만 억 병승(丙乘)이라 하며 이 병승과 갑승, 을승의 양승을 합하여 병의 정실에서 뺀 나머지를 9백 61억 2천 5백 만 정(丁)의 실수로 한다. 이 수를 갑의 법수로 나누면 상소하다(上少下多)하여 정이 공(空)이 되므로 정(丁)의 다음 한 자리에서 이것을 나누면 무(戊)의 득수 4가 된다.

[참고] 상은 분자, 하는 분모를 뜻하는데 나눗셈의 연산에서 피제수(실수)를 왼쪽에 쓰고 제수(법수)를 오른쪽에 기재하는 것은 옛날의 나눗셈의 방법이다. 따라서 상이 왼쪽, 하는 오른쪽이라는 뜻과 상통한다.

이 무의 득수 4와 갑, 을, 병, 정의 4개의 득수를 모두 합하여 44,504 이 수를 제곱, 3제곱한다. 88만 1천 4백 48억 9천 13만 6천 64가 된다 이 수를 갑의 실수에 더하여 무의 익실수(益實數)가 된다. 1천 88만 1천 4백 48억 9천 13만 3천 64이다. 다시 갑, 을, 병, 정의 4개의 득수를 합하여 제곱하여, 19억 8천 60만 6천 16이 된다. 이 수와 1율을 다시 곱하여, 1백 98만 6백 6억 1백60만이 된다. 이 수를 무의 익실수에서 빼면 나머지가 8백 90만 8백 42억 8천 8백 53만 6천 64 되는데 이 수를 무의 정실(正實)이라 한다. 무의 득수와 갑의 법수를 곱하여 800억 이것을 무승(戊乘)이라 한다. 이 무승과 갑승, 을승, 병승, 정승의 4승을 합하여 무의 정실에서 빼면 나머지 42억 8천 8백 53만 6천 64 가 되고 이제까지의 나눗셈에서 얻은 득수는 44,504이다. 이것이 2율이고, 3율을 구하려면 2율을 제곱하고 1율로 나누면 된다.
4율을 구하려면 2율을 배하여 3율과 합해서 1율을 빼면 된다. 또 3율과 2율을 곱하여 이것을 나눈다.

연비례의 첫율이 10만이고 이것을 중율과 말율(末率)에 나누려고 한다. 각 율의 수는 얼마가 되는가? 이분중말선(理分中末線)
[답] 중율 : 61,803 말율 : 38,197
[풀이] 중율을 구하려면 첫 율[首率]을 제곱하는 것을 직사각형의 적(積)으로 생각한다. 이 첫 율로서 장광교(長廣較)로 하며 대종교수(帶縱較數)로서 직사각형의 한 변의 길이를 개평(開平)하여 구한다.
말율을 구하려면 수율에서 중율을 빼면 된다. 또 수율(首率)을 고(股)로 하고 수율의 반(半) 즉 수율의 2분의 1을 구(胊)라고 하며 여기서 현(絃)을 추리하여 구해서 이 현에서 구(句)를 뺀 나머지를 중율로 한다. 이 중율을 첫 율에서 빼면 곧 말율(末率)이 된다.

[참고] 고(股)와 현(弦)과 구(句)는 직각삼각형에서 말한 것이고 다음 그림을 참조하여라.

원문에 ‘장광교(長廣較)’라는 말이 있는데 이것은 직사각형에서 세로의 길이를 장(長)이라는 말로 표현하며 가로의 길이를 광(廣)으로 표현한다. 그리하여 장과 광의 길이의 차를 ‘장광교(長廣較)’라고 말한다. 그리고 ‘대종교수(帶縱較數)’라는 말은 개평법 중의 ‘대종개평법(帶縱開平法)’ 속에 나오는 용어임을 기억하여야 한다.

 

 

출처 : 장달수의 한국학 카페

글쓴이 : 낙민 원글보기

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